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输油管布置问题的优化模型


所属栏目:数学论文
发布时间:2011-07-18 10:42:49  更新时间:2023-07-10 14:35:10

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输油管布置问题的优化模型
李蕙萱 吴瑞溢
摘要:给出了2010年全国大学生数学建模竞赛C题的一种求解方法。分别针对C题提出的3个问题,建立了非线性规划模型,并运用Matlab软件包给出了模型的最优解。
关键词:非线性规划 管线铺设 优化模型

1 问题的提出
本文讨论2010年高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题的解答,问题如下:某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性,油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法[1]。
问题1:针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形,提出设计方案。在方案设计时,若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
问题2: 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由图1所示,A厂位于郊区(图1的I区域),B厂位于城区(图1的II区域),两个区域的分界线用图中的虚线表示。

图1

两个区域的分界线用图中的虚线表示
 


所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用。
问题3:结合实际,根据炼油厂的生产能力,选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元,输送B厂成品油的每千米6.0万元,共用管线费用为每千米7.2万元,拆迁等附加费用同上。
2 符号说明
______________________________________

A、B:铁路同侧的两家炼油厂。
C、D:A、B两家炼油厂在铁路上的投影点。
E:增建的车站。
P:共用管线和非共用管线的连接点。
Q:城区与非城区的的油管连接点。
S:输油管的总长。
F:输油管线的总费用。
:A炼油厂到铁路的垂直距离。
b: B炼油厂到铁路的垂直距离,且 。
C:A炼油厂到区域分界线的垂直距离。
: A、B两家炼油厂的投影点距离。
根据炼油厂及铁路线位置,建立如下的坐标:以铁路所在的直线为x轴,以C点为原点,AC所在直线为y轴。则管线的铺设方案可归结为平面几何问题。

3 模型的建立与求解

3.1 问题1的分析与求解
设车站点E的坐标为( ,0),点P的坐标为( , ), 如图2所示。
图2

 

设车站点E的坐标为( ,0),点P的坐标为( , )
 

为使所铺设管线尽量短,显然共用管线应垂直于铁路线。问题1也即确定点E、P的位置,使点P到A、B、E的距离之和最小。因此我们的问题可化为求解:

问题1的分析与求解
 


3.2 问题2的分析与求解

问题2相比较问题1多考虑了一个因素——拆迁和工程补偿等附加费用,这就导致了城区和郊区所铺设的每单位管线费用不相同。设 表示非城区每单位管线费用, 表示城区拆迁和工程补偿等附加费用。在问题1的基础上,在城区与郊区的临界线处增加一个变量Q ,问题2也可转化为:确定点E、P级Q,使得总铺设费用最小。不妨设车站位置E在非城区(如在城区可类似计算),则问题2可化为求解:

 

问题2的分析与求解
 

具体情况如图3:

问题2的分析与求解2
                                                          图3
问题2的分析与求解3
3.3 问题3的分析与求解

问题3针对炼油厂的生产能力,选用相适应的油管,设输送A厂成品油的管线铺设费用为 =5.6,输送B厂成品油的管线铺设费用为 =6.0,共用管线费用为 =7.2, 表示城区拆迁和工程补偿等附加费用。建立模型:

 

问题3的分析与求解
利用Matlab软件包进行求解得:E(0.3286,0),郊区与城区临界处坐标Q(15.0000,7.9861),相应的费用最省为 。

4 模型的评价

非线性规划模型具有成熟的理论基础,又有相应的专业软件支持,实用性强。模型经过多次修正,综合考虑了很多因素,从而给出最优方案,具有较大的参考价值。

参考文献
吴建国,《数学建模案例精编》,北京:中国水利水电出版社,2005。
姜启源,《数学模型》,北京:高等教育出版社,1987。
赵静,但琦,《数学建模与数学实验》,北京:高等教育出版社,2003。

A optimization model of the oil transmission pipeline
Li Hui-xuan,Wu Rui-yi
(Department of Public Teaching , Liming Vocational University , Quanzhou 362000 , China)
Abstract: The paper mainly puts forwards a solution to the problem C of 2010 China undergraduate MCM. Therefore, respectively concerning the three questions raised by the problem C of 2000 China undergraduate MCM, a nonlinear rogramming model was proposed, and MATLAB was used for the optimum solution of the model.
Keywords : nonlinear programming,pipe installation,optimization model


附件
问题1的程序:
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5; %炼油厂位置及其附加费参数
x=fminunc('fun',[0 0 0]);
h=fun(x);
P=[x(1),x(2)],Q=[c,x(3)],h
A=[0,a];B=[l,b];X=[x(1),0];
plot([P(1),Q(1)],[P(2) Q(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),A(1)],[P(2),A(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),X(1)],[P(2),X(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([Q(1),B(1)],[Q(2),B(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([c,c],[0,9],'r--')
text(A(1),A(2)+0.3,'A'),text(B(1),B(2)+0.3,'B')
text(P(1),P(2)+0.3,'P'),text(Q(1),Q(2)+0.3,'Q')


function h=fun(x)
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;
h=x(2)+sqrt(x(1)^2+(x(2)-a)^2)+sqrt((x(1)-c)^2+(x(2)-x(3))^2)+k*sqrt((l-c)^2+(b-x(3))^2);

问题2的程序:

a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5; %炼油厂位置及其附加费参数
x=fminunc('fun2',[0 0 0]);
h=fun2(x);
P=[x(1),x(2)],Q=[c,x(3)],h
A=[0,a];B=[l,b];X=[x(1),0];
plot([P(1),Q(1)],[P(2) Q(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),A(1)],[P(2),A(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),X(1)],[P(2),X(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([Q(1),B(1)],[Q(2),B(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([c,c],[0,9],'r--')
text(A(1),A(2)+0.3,'A'),text(B(1),B(2)+0.3,'B')
text(P(1),P(2)+0.3,'P'),text(Q(1),Q(2)+0.3,'Q')

function h=fun2(x)
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;
h=7.2*x(2)+5.6*sqrt(x(1)^2+(x(2)-a)^2)+sqrt((x(1)-c)^2+6.0*(x(2)-x(3))^2)+k*sqrt((l-c)^2+(21.5+6)*(b-x(3))^2);
 



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