液体表面层内的侧向应力

　　在液体表面的附近在沿液面的方向有正的应力存在，具体的说通过一个垂直于液面的截面两边的分子是相互吸引的：如果沿液面方向的应力存在于一个厚度为D的表面层中，同时应力在表面层内的平均值S则表面张力可以表示为T=S+D(1)因为表面张力代表横过夜面上单位长度的总的张力，上式还可以用积分更精确的表示出来。如果(x)代表距液面x处沿液面方向的应力，则T=∫S(x)dx(2)但是(上限∞表示积分应包括所有S(x)不等于零点的地点，实际上S(x)主要只存在于液面的附近，所以积分中也只有x很小的一部分才真实存在)

　　二两个关键性因素

　　为了解表面张力发生的道理，首先需要注意以下两点：

　　(1)分子间的作用力一般都是由吸引力和推斥力构成的，吸引力和推斥力的的特征有下列主要区别：

　　两个分子间的吸引力和推斥力虽然在分子间距离增加时都要减弱，但是两着的有效距离很不同。分子间的推斥力可以认为在分子间的接触时才发生，而间距着多数其他分子的两个分子还可以有一定的吸引力。至于吸引力的有效作用距究竟有多大，或者说，分子相隔多远时吸引力才可以不记,则决定于分子的性质，不能一般的说明。以下，我们普遍的用d代表分子件吸引力的有效作用距离。

　　其次，分子间距离改变时，推斥力和吸引力都改变，但是比较起来，推斥力改变得慢。换句话说，由于相同的距离变化，分子间的推斥力变化比吸引力的变化大很多。

　　(2)液体的性质在液体内部是各向同性的，但是在表面的附近则不然。

　　液体内部的各向同性，直接的反映在流体静力学的基本定律中——在静止流体内一点各方向的压强(负应力)相等。原理也很简单，流体内的分子不象固体，没有持久性的排列，因此，以一段适当时间内的平均情况(宏观看法)，环绕液体内部一点分子在各个方向的分布是均匀的。因而构成的情况就不同了。比如，我们考虑位置在厚度等于d(吸引力有效作用距离)的表面层里面的一点，0点显然受到液面外没有分子存在的影响(线荫区域)，图中箭头所指上午方向情况都不相同，因此，表面层内的情况不是各项同性的。在这里，上述的流体静力学定律也就不能应用，换句话说，在表面层内一点不象液体内部，各方向的应力并没有理由是相同。

　　三液体内的应力

　　计算应力时，我们可以分别考虑分子间的吸引力和推斥力。这样就把应力也分为两部分。两部分的数值，我们分别称之为引应力和斥应力。所以应力=(引应力)—(斥应力)由关键因素(2)可知，在液体内部，无论引应力或是斥应力，都保持在各方向相等。用P代表在液体内部一点的压强(应力=—P)于是

　　(引应力)—(斥应力)=—P(4)在通常限度内，压强对液体密度的影响很小。所以压强改变时，分子间的距离只略微变更。因此，引应力几乎是不变的。而写为引应力=A(5)这里A可以看作一个不变常数(即与P的大小无关)，把(5)式代入(4)式，得到斥应力=A+P(6)(5)(6)两式表明，液体内部的变化主要是由于斥应力引的变化，引应力保持几乎不变的数值。(5)(6)两式的物理意义也可以这样理解：

　　当液体密度有微小的改变时，由于推斥力很灵敏的为分子距离所影响，所以斥应力发生一定的变化，但是引应力则几乎不受影响，因此斥应力的改变直接表现为压强的改变。

　　一般液体内部的引应力A都十分大，数值在100000atm左右，所以在一般情况下A>>P

　　这说明，在液体中，引应力和斥应力都很大，两者几乎抵消，中间很小的差距才是液体的压强。

　　以上是液体内部的情形到了表面层内，引应力和斥应力之间产生了更基本的区别。因为斥应力是由相互接触的分子所产生的，所以，除液体的极表面之外，在表面层内各点上的斥应力仍就可以看作是各向同性的。换句话说，在差不多整个表面层内，斥应力仍旧保持着在各方向相等。然而，由于液体的性质再表面的附近不是各向同性的，很显然，一到表面层内在各个方向上的引应力就不会相同。

　　斥应力和引应力间的上述基本区别，可以看做是分子间推斥力和吸引力的有效作用距离不同的结果。在表面层内只有引斥力起了上述的基本变化，自然四因为表面本身便是根据吸引力的有效作用距离所划分出来

　　四简化假设为了扼要的和简单的说明表面张力发生的道理，再这里我们做以下假设：

　　(1)推斥力和吸引力间差别的绝对化，在下面的讨论中，我们将认为斥应力在整个表面层中都是各向同性的。

　　(2)分子热运动可以忽略。实验告诉我们，温度对表面张力有一定的影响：温度越低，张力越大。这固然一方面说明分子热运动影响表面张力，但同时也表明，分子的热运动并不是产生表面张力的因素，否则，当温度降低，热运动减弱时，张力势必要减少而不是要增大。

　　(3)重力的影响可以不计。重力在液体表面附近所产生的压强和液体内引，斥应力相比是微乎其微。

　　(4)液体不受任何压强。

　　(5)液面是平的。处理弯曲液面的具体问题时，每一小块液面仍旧可以看作平液面。可以这样做，是因为一般弯曲液面的曲率半径比表面层大很多。

　　在上面的假设下，液体内的情形如何，由假设(3)(4)(5)，表面层液体内部的压强在各处都等于零，因此，在液体的内部引应力=斥应力=A

　　在表面层的任何地点，一个平行于液面的面积上的应力等于零。证明这事实的方法和静力学中所常用的一样。假设一个正圆柱体下底在表面层里面，上底在液表面，两底都与液面平行。我们考虑柱内液体的平衡条件，表面层内的情况虽不是各向同性的，但是可以证明，在一个垂直于面积上的应力仍是垂直于该面积的。因此，作用在液柱四周的力都垂直于柱面，由于圆形对称，效果相互抵消。同时，柱的上底有不受任何力，所以为满足平衡条件，在表面层内的下底上面的应力也必须等于零。

　　上面的结果并不说明在表面层内沿液面方向的应力(垂直于液面的面积上的应力)也等于零。因为表面层内情形不是各向同性的，所以各方向的应力并不相同。现在我们把引应力和斥应力分开，进一步讨论一下这结果。在下面的讨论中，我们称垂直于液面的应力(在平行于液面的面积上的应力)为正应力，沿液面方向的应力(在垂直于液面的面积上的应力)为侧向应力。所以，上面的结果就是说正向应力等于零。用(3)式这结果可以写为(正向引应力)—(侧向斥应力)=正向应力=0或正向引应力=正向斥应力(8)

　　但是，已经指出，表面层内斥应力在各个方向仍旧相等，所以，侧向斥应力=正向斥应力与(8)式合并，就得到，侧向斥应力=正向引应力(9)决定表面张力的是表面层内的侧向应力，根据(9)式，侧向应力可以表示如下：侧向应力=(侧向引应力)—(侧向斥应力)=(侧向引应力)—(正向引应力)(10)

　　(10)式是说明表面张力存在的基本关系式。为了更好的了解这样表示侧向应力的原因，我们把与以上推论相关的物理意义说明一下：

　　在液体极表面的正向引应力显然等于零。这是因为在液面上的一个面积，只有一边有分子，所以也就不能有分子作用力通过，而表面层的底部则直接和液体内部相连，因此在这里正向引应力的数值也就等于液体内部的引应力A。根据(8)式，斥应力的数值处处和正向应力相同，由液面至表面层底同样的从零增为A，斥应力的变化事实上表示着液体的密度由液面至表面层有所增加，相应的分子距离减小促成斥应力的增加。在这里应该注意，决定引应力和斥应力的因素截然不同。比如正向引应力由液面至表面层底的增加，就是因为一个平行于液面的小面积在表面层内愈靠近层底，在面积上的分子数目愈多，直至达到表面层底时，能影响这面积上应力的各处才完全充满分子，引应力也就达到其“饱和值”A。这样确定了的正向引应力再引起表面层各点密度的变化，从而产生符合(8)式的斥应力。

　　由上面的说明可以看出，引应力不受密度的影响，在表面层内任一点都可以由与液面的距离直接计算。但是，斥应力的大小决定于液体的密度。在理论的分析中，只能由引应力间接推算。这就是在(10)式中把侧向应力用正侧向的引应力表示的原因。

　　参考文献：

　　【1】北京大学普通物理论文集