经济学论文改进Diebold & Li两步法的Nelson—Siegel模型

　　利率期限结构作为风险管理、金融衍生品定价、货币政策制定和政策效果判断的重要基础工具之一，引起了国内外学者的强烈关注，研究成果丰富。Willner（1996），Bravo&Silva（2005）应用利率期限结构免疫投资组合的利率风险[1-2]；Dieboldetal.（2006a）运用利率模型为美国债券进行套期保值[3]；朱世武（2004），余文龙与王安兴（2010）等研究使用利率期限结构模型对中国国债进行套期保值[4-5]；刘艳萍等（2009）将利率期限结构应用于商业银行的风险管理[6]；郭涛和宋德勇（2008）研究了利率期限结构与未来通货膨胀的关系，并对未来通胀进行了预测[7]，等等。当前，研究利率期限结构的模型主要有：均衡模型、无套利模型和参数模型。前两者运用随机微分方程刻画利率的行为，模型比较复杂而且需要大样本。而参数模型是对利率的函数形式作出预先假设，然后通过静态拟合某一国债截面数据，估计出模型参数。其中应用最广泛的参数模型包括Nelson-Siegel模型（NS）[8]，它已经成为多国央行绘制利率期限结构曲线的工具[9]。

　　摘要：Nelson-Siegel利率期限结构模型指数部分的衰减参数通常根据Diebold&Li的两步法、遗传算法或非线性最小二乘法估计，这会导致拟合误差偏大或估计结果不稳定。本文提出用遗传算法与最小二乘法交叉迭代的方法来改进Diebold&Li两步法对Nelson-Siegel利率期限结构模型参数的估计，并与Diebold&Li两步法和遗传算法进行实证比较。实证结果表明，用改进的两步法不仅能提高样本内模型的拟合优度，还能降低样本外模型的定价误差，特别是对于较长期限的债券数据，改进的两步法的模型估计效果明显好于Diebold&Li两步法和遗传算法。

　　关键词：Nelson-Siegel模型,遗传算法,Diebold&Li两步法,改进的两步法

　　一、文献综述

　　NS模型能描述单调、驼峰型及其反转的利率期限结构曲线，特别适合像我国这样债券品种较少、期限结构单一的不发达的债券市场。然而在NS模型中，指数部分的衰减参数的选择对收益率曲线的拟合有重要影响，对的选择不同，所估计的利率期限结构可能差异较大，对债券定价和风险管理等会产生较大影响。对此，Diebold&Li（2006b）提出了估计NS模型的两步法（DL两步法）[10]：第一步根据经验确定指数部分的衰减参数，第二步在已知的基础上通过线性最小二乘法估计出其余三个参数。RafaelB.deRezende（2011）仿照DL两步法，选择一组一定数量的可能值，逐一代入NS模型，通过最小化即期利率或远期利率的平均根均方误差MRMSE来获得及其它参数的最优值[11]。国内研究方面，余文龙与王安兴（2010）通过经验推断NS模型的曲率因子负载的极大值点处于3.5年，然后反求出的估计值；胡志强与王婷（2009）直接罗列出的若干可能取值，接着通过最小拟合误差估计出参数[12]。由于NS模型是其参数的非线性函数，用非线性最小二乘法估计参数会因依赖初始值而导致估计结果不稳定，而DL两步法的优点在于运算简便，而且结果稳定，但缺点是对参数的估计存在一定的随意性，容易产生估计误差。国内学者使用的另一个常见的估计方法是遗传算法。任姝仪等（2011）在NS模型的四个参数的经验范围内构建参数初始种群，通过算法迭代，一次性计算出包含的所有参数[13]，因此遗传算法也可以称为“一步法”。遗传算法对的估计结果不太稳定，收敛速度的快慢取决于给定的算法参数，对异常值也比较敏感，有时还会陷入收敛陷阱，需要反复试验。针对DL两步法和遗传算法的上述缺陷，本文提出了基于改进的两步法的NS利率期限结构模型，并利用上海证券交易所国债数据与基于遗传算法及DL两步法的NS利率期限结构模型进行实证比较。

　　二、NS利率期限结构模型及改进两步法的求解

　　（一）NS利率期限结构模型及其参数？姿的估计

　　NS利率期限结构模型采用式（1）来拟合即期利率。通过求解样本国债的理论价格与市场价格误差的最小值问题来估计模型参数，进而求得利率期限结构。

　　r（t；？姿）=？茁0+？茁1■+？茁2（■-e-？姿t）（1）

　　其中，？茁i（i=0，1，2）和？姿是模型参数。根据Diebold&Li（2006b）的理解，各参数具有明显的经济含义：？茁0表示利率期限结构的水平因子，反映利率的长期水平；？茁1表示利率期限结构的斜率因子，反映短期利率水平；？茁2描述利率曲线弯曲的形态和趋势，是利率曲线的曲率因子；？姿则决定了斜率、曲率因子负载的收敛速度，称之为衰减参数。

　　现有文献估计上述参数主要采用经验分析[14]，各参数的范围满足：？茁0+？茁1>0，0.03<？茁0<0.1，-0.1<？茁1，？茁2<0.1，？姿？缀（0，1）。就衰减参数？姿的估计，目前主要采用DL两步法和遗传算法。对于DL两步法，考虑到？姿取决于NS模型的曲率负载的极值点位置，因此首先通过经验设定曲率负载取得极值的时间点t=t*，然后利用曲率负载在极值点的一阶条件获得？姿的估计值？姿*。然而凭经验所得的极值点一般都不精确，由此得到的估计误差较大。对于遗传算法，则完全剔除了经验判断，在NS模型所有参数的经验范围内构造多组待估参数的可选数值（初始种群），每一组都被看成个体，将它们依次代入到目标函数，然后选择函数值较小的一定数量个体，经交叉和变异，生成待估参数的子种群，重复此过程，直至迭代达到给定的次数，或目标函数小于某一给定正数，最终取得最小函数值的个体就是模型参数的估计值，如此一次性全部求出所有参数的遗传算法也可称为“一步法”。问题是NS模型是其参数的非线性函数，因此在迭代运算过程中，四个参数相互影响，导致每次运算的结果相差较大，所得？姿的估计值？姿*很不稳定。（二）改进的两步法及求解

　　1.改进的两步法的基本思路

　　为了弥补DL两步法与遗传算法在估计NS模型的衰减参数？姿时的局限性，本文通过改进的两步法寻找最优的？姿*。基本思路是在最小化样本国债加权价格误差平方和的目标函数下，通过遗传算法与线性最小二乘法交叉迭代，获得最优的参数？姿*，最后再利用最小二乘法求出其它参数，进而得到即期利率。这样做较DL两步法和遗传算法估计NS模型参数值有下列优点：一是融合了遗传算法的大样本挑选优势；二是同时具备线性最小二乘法的稳定性。

　　模型中的目标函数一般是：

　　min■■（Pk-Pk）2（2）

　　其中，Pk，Pk为国债的市场价格和理论价格，m为债券数量。根据修正久期的经济含义，在其他因素相同的情况下，固息国债剩余期限越长，修正久期就越大，相同利率变化造成的国债价格波动也就越大。考虑到我国国债大多集中在中期，长、短期国债数量有限，所以本文采用修正久期的倒数对不同期限的国债价格误差进行加权调整，以消除期限对价格误差的影响。此时，目标函数变为：

　　■■■[■（Pk-Pk）/■■]2，（3）

　　其中，■k=■Ci？啄（ti），

　　？啄（t）=exp（-r（t；？姿）t）=exp（-t（？茁0+？茁1■+？茁2■-e-？姿t）），Dk是修正久期，Ci是利息，n为利息支付次数，？啄（t）是债券在t时刻的贴现函数，其它各符号意义与上文相同。

　　2.基于改进的两步法的模型求解步骤

　　首先在？姿的经验范围内生成一定数量的初始种群，将种群的每个个体代入式（3）-（4），并采用最小二乘法估计出其余三个参数序列，得到相应的适应度函数值，以此作为挑选？姿的依据。具体求解步骤如下：（1）初始种群的生成：设置进化代数计数器n←0，最大进化代数N，在参数？姿范围内随机生成k个个体（染色体），构成的初始种群P（0）；（2）选择：将上述k个个体代入式（3）-（4），利用最小二乘法估计出其余三个参数值，得到参数组序列？茁i1，i=0，1，2，进而得到适应度值，对其从小到大排列，利用选择算子保留函数值较小的一定数量的染色体；（3）交叉：利用交叉算子将保留下来的染色体两两线性组合，得到新的染色体；（4）变异：运用变异算子按照一定的变异概率改变染色体的部分基因，形成？姿的子种群P（1），将子种群中的个体代入式（3）-（4），用最小二乘法估计出参数组？茁i2，i=0，1，2，接着得到适应度值，从小到大排列选出函数值较小的一定数量的染色体，转到步骤（3），（4）；（5）终止条件判断：若n≤N，或所得参数的目标函数值大于预先给定的较小正数，则n←n+1，转到步骤（2）；反之，则以进化过程中所得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出，终止运算。

　　三、实证比较与分析

　　考虑到数据的可得性和丰富性问题，本文选取上海证券交易所2008年7月10日，共计33支国债日交易收盘数据进行实证分析，数据来源于和讯债券网。考虑到NS模型对长期期限数据的拟合效果较差，我们将剩余期限在10年以上的4个样本点予以剔除，同时还剔除到期收益率为负的一个异常点，然后用剩下的其中19只样本内债券数据进行模型估计，其余9支样本外国债数据用于模型检验。用Matlab编写改进的两步法、遗传算法和DL两步法的程序。算法开始首先确定各参数取值，如群体数量、代沟大小、交叉和变异概率等，它们对算法的结果有重要影响。根据常用的参数范围及试算结果①，对于改进的两步法，设定算法参数如下：染色体数目k=200，最大遗传代数M=300，代沟g=0.5，交叉概率P交叉=0.8，变异概率P变异=0.15。对于遗传算法，参数设定为：染色体数目k=40，最大遗传代数M=1000，代沟g=0.9，交叉概率P交叉=0.8，变异概率P变异=0.175。对于DL两步法，本文借鉴文献[5]的做法，取定？姿=0.51235。用这三个算法估计NS模型的结果见表1。根据表1，与遗传算法和两步法相比，改进的两步法所得目标函数值最小，拟合优度最高②，DL两步法则最低。

　　样本外的理论价格与市场价格的绝对误差见表2。根据表2，基于改进的两步法的价格误差是39.68，而基于遗传算法和DL两步法分别是41.12和45.56，显然前者要优于后两者，因此，改进的两步法对较长期限的债券数据拟合有明显优势。接着，为对比基于改进的两步法、遗传算法和DL两步法的NS模型对较短期限数据的拟合效果，剔除上述样本中剩余期限为6年以上的数据，即用18只样本内债券数据估计模型，用剩下的7只样本外债券进行模型检验。估计结果见表3，其中，虽然根据改进的两步法所得的目标函数值最小，但三者的拟合优度没有明显差别。样本外的理论价格与市场价格的绝对误差见表4。根据表4，基于改进的两步法的价格误差是3.9，而基于遗传算法和DL两步法分别是4.3和3.9，前者优于遗传算法，但和DL两步法相当。因此三个算法对较短期限数据的拟合效果近似。综合比较三种算法对长、短期限数据的估计效果，改进的两步法要优于遗传算法和DL两步法。

　　为了进一步对比三种算法的估计效果，本文还选择了2005年1月4日起连续3个交易日数据（剩余期限为15年以下）做实证分析，特别的是，为了避免样本数据选择的刻意性，只随机选择每日80%的样本内数据做拟合，剩余20%的样本外数据做模型算法检验，根据样本内的拟合优度和样本外的根均方误差RMSE来判断三种方法的优劣。实证结果见表5。

　　由表5可知，改进的两步法在拟合优度R2方面是最高的，根均方误差也是相对最低的，三者的平均根均方误差分别是2.09，2.17和3.87。总的看来，改进的两步法优于遗传算法，而遗传算法优于DL两步法。

　　四、结论

　　债券及利率衍生品定价、风险管理和货币政策制定依赖于利率期限结构的精确估计，NS利率期限结构模型是应用最广泛的模型之一。对于其指数部分的衰减参数的估计，大多存在一定的随意性，然而衰减参数的估计对利率期限结构的准确估计具有重要影响。对此，本文提出基于遗传算法与最小二乘法交叉运用改进了DL两步法的NS利率期限结构模型的参数估计方法，然后以上海证券交易所国债数据为样本，与遗传算法和DL两步法的NS模型进行实证比较。结果显示：基于改进的两步法的NS利率期限结构模型能减少价格误差，具有较高的稳定性，总体上优于遗传算法和DL两步法，特别是对于较长期限的债券数据样本。显然地，改进的两步法可以推广应用到NS族模型，还可以考虑应用于利率期限结构的预测方面，这将是我们后续研究的问题。■（责任编辑：徐璐）

　　参考文献：

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　　[2]Bravo，J.M.V.andC.M.P.DaSilva，ImmunizationusingaparametricmodeloftheTermStructure[R].Workingpaper.2005.

　　[3]Diebold，F.，L.Ji，andC.Li.AThree-FactorYieldCurveModel：Non-AffineStructure，SystematicRiskSources，andGeneralizedDuration.inKlein，L.（ed.），Long-RunGrowthandShort-RunStabilization：EssaysinMemoryofAlbertAndo.Cheltenham，U.K.：EdwardElgar，2006.

　　[4]朱世武，李豫，董乐.交易所债券组合动态套期保值策略研究[J].金融研究，2004（9）.

　　[5]余文龙，王安兴.基于动态Nelson-Siegel模型的国债管理策略分析[J].经济学（季刊），2010（4）.

　　[6]刘艳萍，巩玉芳，迟国泰.基于利率非平行移动风险控制的资产负债组合优化模型[J].管理学报，2009.

　　[7]郭涛，宋德勇.中国利率期限结构的货币政策含义[J].经济研究，2008（3）.

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　　[12]胡志强，王婷.基于Nelson-Siegel模型的国债利率期限结构预测[J].经济评论，2009（6）.

　　[13]任姝仪，杨丰梅，周荣喜.中国国债利率期限结构Nelson-Siegel族模型实证比较[J].系统工程，2011（10）.

　　[14]唐革榕.我国利率期限结构的静态拟合实证研究[D].厦门：厦门大学，2006.