三角形面积公式及其蕴含的思想方法

　　三角形的面积公式在青岛版五年级数学教材中是用平行四边形的面积公式证明的(如图1)，因为两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，这两个三角形移置前后面积之和有简单的面积相等关系，从而三角形的面积等于其等底等高的平行四边形面积的一半。用初中阶段的数学知识可以证明如下：由于ДАBC ДСВA(ДABC))，A 而 АСВ—

　　应用正弦函数，基本公式可以表示为S-absin C，当然，两边及其夹角可以唯一确定一个三角形，自然能够表示出这个三角形的面积。应用正弦定理，还可以表示为S-a sin Bsin C sin A

　　2海伦公式的应用街生近似、逼近的方法

　　已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形面积S=vp(p-a)(p-b(p-c，其中p=et6，这就是著名的海伦公式。虽然这个公式是由阿基米德发现的，但这个名称已成习惯叫法。海伦公式作为练习出现在人教A版《数学5)(必修)“解三角形"一章的习题中，我们可以用余弦定理证明。

　　3解析几何公式蕴含数学简单美

　　在解析几何中，如果知道三角形三个顶点的坐标，那么这个三角形也是确定的，三角形的面积应该可以根据三个顶点的坐标求出。(如图2)设AABC三个顶点的坐标分别为A(i，y)，B(z2 B()y2)，C(zs，ya)，则1BC1-/a-2)+(y-y)。由图2于BC边的直线方程为二2y二y，所以点A到2-I2 ya-y21-r_y-2边BC的距离为一x1-z2y-3根据基(z-z2)t(y-y2本公式，有s=s-z)(ys-y)1-2_u-2rs-12 ys-y211(x-22)(y，-y2)|4ーaー2ー21-x，一12 ys-y21(x-x2)(ys-y2)-(xs-x2)(y，-y)|=1(x为-an)-(xiy-22y)-(22y-2y)|=tl(2y-xy2)-(ny-ay)-(x1y2-z2y)|= 1 2 s1y1 y2 y3

　　4公式拓展的开普勒方法蕴含定积分思想

　　开普勒将三角形(直线形)面积公式拓展到圆(曲线形)的面积公式的探求，他认为，圆周上有那么多的点，从而有那么多的部分，即无穷多个部分，每个部分都可视为腰是AB(半径)的等腰三角形的底，因此，圆中有无数个三角形，它们的顶点都是圆心A.开普勒将圆周展开为一条线段，他在线段上每一点，“一个接一个地”都放上同圆内三角形底相等的三角形，所有三角形的高都等于AB(如图3)。由此得出AABC的面积将等于圆图3的所有扇区，从而等于包含所有扇区的圆的面积[2.所以圆的面积等于半径和周长乘积的一半。开普勒将圆切成非常小的三角形的应用，展示了无穷小分割、以直代曲、近似求和、取极限的定积分思想。

　　5公式定积分解法应用了元素法

　　用定积分求平面图形的面积是数学中普适性和一般性的方法。自然，我们也可以应用定积分求三角形的面积。采用元素法，取坐标如图4所示，当x在区间[0，h]上变化时，面积元素为ds-号(h-z)dr.在[0，h]上积分，得到图4所求三角形的面积为S-f"(h-x)dr-ad fJ.-·।-.简单的三角形的面积公式反映了几何教学从实验几何到论证几何的过程，体现了几何、三角、代数与分析学等学科典型的解决问题的方法。如果我们能在日常教学中不断反思、不断挖掘知识所蕴含的数学思想方法，这样有利于深化我们对数学知识的本质认识，提高数学教学的深度和水平，学生更会从中受益。

　　参考文献：

　　[1]傅海伦.中外數学史概论[M].北京：科学出版社，2007

　　[2][美]VICTOR J.KATZ著.李文林等译.数学史通论(第二版)[M].北京;高等教育出版社，2005.

　　《三角形面积公式及其蕴含的思想方法》来源：《中学数学教学参考》，作者：房元美，房元霞。