数学归纳法的含义及案例研究

　　例如，在证明和正整数有关的命题时常用的方法中包含数学归纳法这一尤其有意义的重要手段. 一般来讲，使用数学归纳法进行与正整数有关的命题p(n)成立与否时需要证明以下内容： ①p(n0)(n0∈N* )成立; ②若p(k)(k≥n0，k∈N*)成立，则 p(k+1)也成立. 因此，p(n)对于一切正整数n(n≥ n0)都成立.

　　包含最终的结论，数学归纳法证明过程的三个步骤一目了然. 不过，一般运用数学归纳法进行证明时，因为最终结论的千篇一律，我们往往更加注重前面两个步骤. 那么，证明命题p(n)对于一切正整数n(n≥n0)都成立为什么需要两步?事实上，p(n)对于n=n0成立已经可以证明最终的结论，但第二步中“p(k)(k≥n0，k∈N* )成立，则p(k+1)也成立” 这一真命题的使用可以得出p(n0+1)是成立的，p(n0+2)也是成立的……由此，命题p(n)对于一切正整数n(n≥n0)也都成立了.

　　实际教学设计与思考

　　教学设计的方向因为对数学归纳法的了解而更具方向性，作为教学内容载体的教材为教学内容的呈现提供了很好的形式，学生的“学”与教师的“教” 都是围绕教材而展开的活动，只有对教学内容与教材进行深入的数学研究与理解，教师设计的教学过程才会更具科学性与合理性.

　　1. 目标设置教学活动必须围绕明确的教学目标而开展，对于数学归纳法这部分内容，围绕本课内容，我们应该引导学生明确如下学习目标： ①利用数学归纳法进行本课命题的证明需要做到哪些步骤?②为什么需要做到这些步骤?两个教学目标的确立与达成能使学生在领会这一方法的实质基础之上奠定今后具体运用的基础.

　　2. 领引学生感受学习的必要性首先提出问题：对于数列{an｝，已知 a1=1，an+1= an 1+an (n=1，2，3，… )，计算可得 a2= 1 2 ，a3= 1 3 ，a4= 1 4 ，则获得猜想an= 1 n . 学生在思考过程中存在两个问题： ①不可能一直验证下去，an= 1 n 是不是数列{an｝的通项公式不是一直这么计算下去就能证明的;②猜想获得的通项公式要成为数学结论必须通过一定的证明. 那么，an= 1 n 是否为{an｝的通项公式应该如何来证明呢? 这就需要一种新的方法来参与了，这一方法的名字并不重要，重要的是这一方法的实质含义与价值. 学生在“问题”的驱动下很快陷入“愤”“悱” 的境地并激发出强烈的求知欲.

　　满足这些条件的多米诺骨牌就会全部倒下的原因究竟在哪里呢? 这是教师必须引导学生思考且阐述的问题，上述两个条件中的每个条件所起的作用究竟在哪里是教学过程中不可或缺的环节，学生在这些原因与作用进行思考与解释之后才能对数学归纳法的实质产生真正的领悟，后续学习中对于这一方法的运用才会更加熟练而灵活.

　　学生在初学数学归纳法证明命题时往往会将第二步写成“设n=k(k≥n0， k∈N* )时结论成立，要证明n=k+1时结论也成立”，笔者不仅不允许这样的行为出现，而且还会要求学生将“结论成立” 写得更加具体，这使学生在审题与证明过程中能够清晰了解要证明的内容，学生一旦明确命题的条件与结论也就能够更好地把握问题的精髓了，在具体解决过程中也就很快能够联系分析、反证等诸多的方法了，学生感受演绎推理特征的同时也使得自身逻辑思维能力得到了更好的培养.

　　总之，数学教学效果的良好获得必然要建立在数学理解到位的基础之上，同时，教师在教学中还应对学生的学习心理进行研究并依此进行教学环节的科学设计，使得教材、学生等都在教师的潜心研究与设计之后焕发出夺目的光彩.

　　《数学归纳法的含义及案例研究》来源：《数学教学通讯》，作者：施响勇。