变形观测数据分析预测中建模方法浅析

变形观测数据分析预测中建模方法浅析
蒋宗伟1，汪德希² 胡华敏²
摘要：变形观测在监测方法、精度要求、数据处理等方面有其自身的特点。本文结合实践对如何根据观测数据进行简要分析并建立模型，分别运用最小二乘多项式拟合法和ARMA模型对同一批变形观测数据进行建模预测，根据模型预测的结果与实际数据的比较来分析出这两种建模方法之间的特点与适用范围。并结合自己的实际经验提出了自己的一些合理化建议。
关键词：数据分析时间序列拟合插值连续精度评定

0 引言
在地质水文条件复杂地区或者城市重要地段施工时，有必要在整个施工阶段对结构体进行必要的位移监测，以获得被测结构体变形的基本数据，并通过对观测数据的变形分析建立数学模型来预测其未来的变化情况，从而起到指导生产、合理安排各种相关作业、增加安全系数的作用。
在变形观测中，现场采集的观测数据无论是按时间顺序排列还是按空间位置顺序排列，数据之间都存在一定的统计相关性，对具有这种统计特性的变形观测数据的分析与处理，经常采用时序分析法对观测数据进行分析，以建立形变结构的动态变形预测模型，从而对其变形趋势进行预测.最小二乘曲线拟合法无疑是经常使用的方法之一，另外自回归滑动平均模型（简称ARMA模型）也是一种典型的建模方法。
1.最小二乘多项式曲线拟合法
在变形监测数据分析过程中，对变形观测采集到的数据，我们可按照变化量和时间建立一组数据。最小二乘多项式曲线拟合法就是通过已知的N组离散数据点来找到的一条近似逼近曲线，把这组离散数据线性化表示出来，从而在一定程度上根据函数表达式来推测某一未知点对应的变量，是数据分析上常用的方法。其基本原理如下：
已知N组数据，求这N组数据的m-1次最小二乘拟合多项式：
（m≤n），假设是正交多项式的线性组合，即有
，
其中，，，
由此可得，进一步即可得到最终的拟合多项式。
在实际操作中，我们可以用MATLAB软件中的polyfit函数来求得多项式各项的系数{ai},在阶次的选择上，可以从m=1开始，级数逐次升高，并进行精度评定，每增一组数据就拟合一次多项式，并估计出多项式各项的系数，计算出拟合的残差的平方和，并将残差平方和作统计检验。曲线拟合时并不是要求所有数据点都严格在近似曲线上，但要求偏差要尽可能的小，其拟合精度可用公式来评定。
实例:广州中船龙穴造船基地沿海防护围堤监测点(D9-2A)施工期170天的累计水平位移观测数据如下表:
日期

日期累计时间(d) 累计位移(mm) 日期累计时间(d) 累计位移(mm) 日期累计时间(d) 累计位移(mm)
5月1日 0 0 6月30日 60 -62 8月30日 121 96
5月10日 9 7 7月9日 69 -67 9月12日 134 108
5月20日 19 21 7月19日 79 -74 9月21日 143 109
5月31日 30 32 7月30日 90 90 9月29日 151 111
6月10日 40 41 8月9日 100 100 10月8日 160 118
6月20日 50 50 8月20日 111 111 10月17日 169 114
运用多项式拟合法对这组数据中的前150天的数据进行拟合，留后20天的数据做预测比较。拟合得到的函数为：（对应系数如下表）
系数 a1 a2 a3 a4 a5 a6 拟合精度（mm）
5次拟合 -9.13164E-09 3.44156E-06 -4.48240E-04 2.04489E-02 7.66005E-01 -1.40435E-01 1.95299 E+00
3次拟合 --- --- 6.99876E-06 -4.29029E-03 1.24211E+00 -1.52341E+00 2.18985 E+00
2次拟合 --- --- --- -2.70480E-03 1.15003E+00 -5.80429E-01 2.24751 E+00

从表中拟合精度分析可以看出阶次越高拟合曲线与实际数据越接近，逼近效果也越好，也就越精确。根据拟合得到的多项式推测该点10月8日、10月17日的水平位移累计变化，5次拟合推测的为107.860、98.296，3次拟合推测为116.054、119.641，2次拟合推测为114.181、116.523，与这两日的水平位移实际数据118、114相比，发现越超前拟合预测数据与实际数据差异越大，并不是拟合阶次越高预测数据越准确，这说明运用多项式拟合做超前预测时不适宜外推太多，但对于做插值推测效果还是非常好。原因主要是多项式拟合法是一种静态数据处理方法，从严格意义上说它不能直接应用于所考虑的数据是否统计相关的情况。若用多项式拟合的方法做一定程度的超前预报，就必须在每增加一组数据就做一次多项式系数估计，并进行精度评定，当精度不随阶次的升高而显著增强时即可做一定程度的外推预报，一般的变形观测数据拟合次数在3次以上拟合精度就比较好了。
2.自回归-滑动平均模型
变形监测中逐次得到的观测值通常是不独立的，也是随时间逐步变化的，在对数据进行分析时必须要考虑到观测数据点的时间顺序，ARMA模型就是在观测值逐次相关的基础上建立的一种预测模型，即，它与回归模型的区别就在于时间序列彼此相互关联，是一种动态数据处理模型。ARMA模型利用观测数据之间的相关性建立相应的数学模型来描述被监测对象的动态变化，进而来预测未来的量值。其基本原理如下：若平稳时间序列数组{}可由随机差分方程表达(P为自回归阶次，q为时间平均滑动阶次，aj，bj为相应参数，为白噪声序列),称此方程为的滑动平均模型。对于非平稳时间序列，我们可以做插值处理提取等间隔时间点对应的趋势数据，再对平稳零均值序列{}用ARMA法建模，并对残差数据进行白噪声检验，确保模型数据处理的合理性，然后用新建立的模型来对动态系统将来的变化进行预测。

实例：观测数据如上例（须先对观测数据进行等间隔插值处理）
得到ARMA（4，3）和ARMA（3，2）的表达式分别为：
xt=0.1255 xt-1+1.447 xt-2+ 0.247 xt-3-0.7978 xt-4+ε-0.1255εt-1- 1.447εt-2 + 0.1209εt-3, 残差：2.141mm;
xt=1.368 xt-1+0.1572 xt-2- 0.5267 xt-3+ε-0.8757εt-1-0.134εt-2 , 残差：2.157mm,
从模型2的最后两个预测值的结果亦可看出, ARMA（4，3）推测为118.776、118.070,ARMA（3，2）推测为116.367、117.317，与实际数据均相差不大，均能起到良好的预报效果，其中RMA（4，3）模型在短时间超前预测值更为接近实际，但同样不适合做太多超前预报。
3.结束语
通过建立动态预测模型对变形观测数据进行分析，使我们认识到模型的建立对预测的重要价值，因为从预报的效果看,多项式拟合法与ARMA模型在有限范围内均有良好的预测，ARMA模型考虑到了观测数据的相关性，可更好的反映观测数据的趋势成份,故更具合理性，对提高预报精度作用明显，模型参数较多，建模工作量大，而且在如何合理确定模型阶次问题上有待优化。总之，我们可以根据需要采用不同的建模方法。一般简单的分析，可以采用多项式拟合模型进行拟合和一定程度的超前预报,对于高精度工程的变形观测数据分析与处理，应结合其他方法函数类型的数据处理方法建模综合考虑，才能获得较好的结果模型结构，进而做出更加合理的预报。

参考文献:
【1】陈永奇等变形监测分析与预报北京：测绘出版社，1998
【2】张启锐实用回归分析北京：地质出版社，1988
【3】刘大杰，陶本藻等实用测量数据处理方法北京：测绘出版社，2000
【4】孙现申，赵泽平应用测量学北京：解放军出版社，2002
【5】播国荣，王穗辉建筑物动态变形的模型辩识与预测测绘学报，1999(4)